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【物理世界】量子霍尔效应(三):複合费米子

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连结:【物理世界】量子霍尔效应(二):分数量子化与 Laughlin 波函数

【物理世界】量子霍尔效应(三):複合费米子

本图引自1990年6月22《科学》杂誌封面,courtesy of illustration T. S. Duff and T. Kovacs, AT&T Bell Laboratories

儘管 Laughlin 波函数从定量的角度提供了当时人们了解某些分数霍尔态的出发点,它并不称得上是一个完整的「故事」。另一方面,它的成功也多侷限于 \(\frac{1}{3},~\frac{1}{5}\) 等分数,而不涵盖其他如 \(\frac{2}{5},~\frac{3}{7}\) 等也在实验中被发现的状态。

Jain 在1989 年提出所谓複合费米子(composite fermion)的概念 [参1],希望以它来提供整数量子霍尔效应与分数量子霍尔效应一个统一的图像。顾名思义,相对于电子这种「基本粒子」,複合费米子可以被理解成是电子绑上其他元素,在更早的核子物理中,一个核子也可视为複合粒子(composite particle)(儘管不一定是费米子)那时其他元素可能是质子、或中子,而在量子霍尔效应中,这个元素抽象的多:我们要将电子和磁通量[1]绑在一起!

这个主意背后的动机或者可以这幺理解:在前面两篇文章中我们都谈到了住公寓这个比喻,要把公寓跟系统中牵涉的物理量结合,磁场这个局域的量并不合适,相对而言,总磁通量与整个系统大小(即公寓房间数目)成正比,是一个比较好对应的量。平均来说我们可以想像每个房间都可以有一个朝上的小箭头来代表,这个箭头带有一个磁通量的单元[2],经过计算它的大小是 \(\frac{hc}{e}\),其中 \(h,~c,~e\) 分别是普朗克常数、光速与电子电量。

Jain 所谓的複合费米子就是将一个电子绑上 \(2, 4, 6,…\) 等偶数个磁通量箭头形成的新费米子[3]。

这样做会获得什幺结果呢?首先我们考虑 \(\frac{1}{3}\) 填满的分数霍尔态,从定义上知道,这个态中若有 \(N\) 个电子,就会有 \(3N\) 个房间(小箭头),如果将每个电子都绑上 \(2\) 个磁通量小箭头形成一个複合费米子(简称 \(CF2\)),整个系统就会剩下 \(N\) 个複合费米子与 \(N\) 个磁通量小箭头,这不是别的,就是整数量子霍尔效应中填满第一层兰道阶的状态!(见图一)

【物理世界】量子霍尔效应(三):複合费米子

更进一步来说,我们用 \(CF2\) 组成一个填满 \(n\) 层兰道阶的整数量子霍尔态,即系统中会有\(N\) 个朝上箭头以及 \(nN\) 个 \(CF2\)。接着将每个 \(CF2\) 拆解成一个电子跟 \(2\) 个小箭头,则整个系统变成有 \(nN\) 个电子与 \((2n+1)N\) 个小箭头,对应到的就是 \(\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{3},~\frac{2}{5},~\frac{3}{7}…\) 的分数霍尔效应态。同样的游戏也可以这幺玩:用 \(CF2\) 组成一个填满 \(n+1\) 层兰道阶的整数量子霍尔态,但将磁场的方向反过来,系统中会有 \(N\) 个「朝下小箭头」以及 \((n+1)N\) 个 \(CF2\),将複合费米子拆解回电子和朝上小箭头后,这个系统会对应到 \(\frac{(n+1)}{(2n+1)}=1,~\frac{2}{3},~\frac{3}{5},~\frac{4}{7},…\) 等态。 (见图二)

【物理世界】量子霍尔效应(三):複合费米子

这两个序列称为Jain 序列 ,透过複合费米子的图像,Jain不仅将整数与分数量子霍尔效应纳进同一个框架,指出「电子的分数霍尔效应即複合费米子的整数霍尔效应。」也比单纯的 Laughlin 波函数解释了更多实验上发现的分数。

然而,这个理论依旧不是很完备。其中一个很显然的缺陷是,在霍尔效应的问题中,原则上在磁场够大的情况下,所有的物理应该只跟最低层的兰道阶有关,但将问题变成複合费米子的整数霍尔效应时,不可避免地会使用到高层兰道阶,因而在进行计算时我们必须手动地去将高层兰道阶成份去除。也因此有其他学者尝试从其他角度,去建构有效理论或波函数 [参2, 3]。

另外一个物理学家感兴趣的点是,Jain 序列在  \(n\) 在无穷大的极限是 \(\frac{1}{2}\),如果套用上面贴附磁通量的论述,系统中有 \(2N\) 个朝上小箭头与 \(N\) 个电子,在转换成 \(CF2\) 后,会变成 \(N\) 个 \(CF2\) 但「没有磁场」。B. Halperin、P. Lee 和 N. Read 首先在1993年提出现今人称的 HLR 理论来描述这个 \(\frac{1}{2}\) 填满的态 [参4],但直至 20 年后,为了釐清问题中不可或缺的对称性,一个新的发想再一次地这个 \(\frac{1}{2}\) 填满的态发出冲击。

连结:【物理世界】量子霍尔效应(四):迪拉克複合费米子


参考资料:

注解:

[1] 国中理化我们会学到磁通量的变化会产生电动势(电压差),这是发电机的基本原理,跟这边讲的磁通量是一样的东西,约略而言即磁场乘上面积。

[2] 也就是磁场乘上面积除以每个兰道阶的房间数目。

[3] 非得是偶数个磁通量单元是有重要理由的,但要讲述这个大概又得另外写一篇文章,在量子物理中有一个所谓Aharonov-Bohm效应,指出在準二维系统中,一个粒子的波函数绕过一个磁通量时会乘上一个大小为1的複数。简单地说,费米子要黏上偶数个磁通量单元hc/e,才能还是一个费米子。

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