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【物理世界】量子霍尔效应(二):分数量子化与 Laughli

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连结:【物理世界】量子霍尔效应(一):尘埃中洗涤出的整数

在前一篇笔者讨论了整数的量子霍尔效应,也就是实验中测得电导率的xy分量为电荷平方除以普朗克常数的整数倍。我们虽然没有篇幅涵盖实验上所看到现象的所有必要物理概念,但至少有一个很概略的图像:整个系统像一个公寓,公寓的楼层叫兰道阶,愈底层的公寓房租(能量)愈低,所有的电子便从第一层公寓筑起,并且电子遵循庖立不相容原理(Pauli exclusion principle)所以一间房间只能住一个电子,实验上这些整数对应到住满的兰道阶的阶数。[1]

【物理世界】量子霍尔效应(二):分数量子化与 Laughli

图一:在整数霍尔效应中兰道阶的填满状况可以用这个卡通来示意。蓝色表示有人住的房间,灰白色表示空房。即便在省略交互作用时,依旧可以想像为何电子们形成均匀流体,以及整个系统为何是个绝缘体(从所谓整个块材的观点)。

儘管不是很完全,但这样的图像已经能解释一些现象,比如说这些电子总体看来是有均匀密度的不可压缩流体,是一个稳定态。读者可以想像成在住满的兰道阶每个房间都有电子[2],因而有均匀的密度 ; 而因为每一个兰道阶之间都有一个有限的能量差,要激发这一团电子必须克服这一个差距,也就是说某个角度而言,这个系统是一个绝缘体(insulator)。

从这个观点看,就不难理解隔年人们发现前面的数字不一定得是整数,还可以是 \(\frac{1}{3}\) 时或其他分数时有多惊讶。拿 \(\frac{1}{3}\) 当例子,这表示第一层兰道阶只住满了 \(\frac{1}{3}\),那幺先验上其实没有理由去干涉这些电子怎幺住,今天这家伙想住阳台边,明天另一个人想住家门口,没有一个规範空间分布的法则 ; 另外因为兰道阶不是满的,表示当这些电子在同一个兰道阶换房间的时候,房东整体收到的房租没有差别,与之前相比,没有能阶需要克服。

【物理世界】量子霍尔效应(二):分数量子化与 Laughli

图二:另一方面,在部分填满的情况下,如果依旧没有交互作用,则左右两个状况的总能量是一样的,而且没有规则去指导这些电子要怎幺分布。

即便只有这两件事,兰道阶都不够用了,从理论的观点,需要更多元素来反映或解释,至少以下这两点:1. 整个多体系统有均匀密度。2. 整个多体系统从最低能量到第一个激发态需要有个有限的能阶差。

人们很快就想到,所谓的「兰道问题」基本上还是一个单电子问题,我们解完单电子的兰道阶,就开始一个一个房间塞电子,而没有考虑电子间的库侖交互作用[3]。然而,当磁场很大所有电子都困在第一层兰道阶时,电子可视为没有动能,这时没有理由去忽略静电力的影响,分数量子霍尔效应可以说是:在某些填满的比例底下,比如说 \(\frac{1}{3},~\frac{2}{5},~\frac{3}{7}…\),静电交互作用规範了电子的分布状况,从千万个可能的组态中选出了一个最低能量态,使它是密度均匀、不可压缩、且具备有限的能量差。

不过物理不能止步于说说故事,在两段之前我们提出问题,上一段发想出可能的因素,接下来就该动手做髒活,也就是做计算去看看这个点子发挥得怎幺样了。要进行量子力学层次的物理量计算,原则上需要有这个系统的波函数,但很多个电子侷限在最低兰道阶的波函数是什幺?其实到今天都不算完全被解答。R. Laughlin 在 1982 年首先解了 2 个和 3 个电子薛丁格方程式,并在之后将结果推广到多电子的状况[4]。虽然这个所谓 Laughlin 波函数(Laughlin wave function)不是真正库侖问题的解,但在数值方面获得了极大的成功,在电脑上与真正的波函数有很大的相似,并看到能阶差。除此之外,更令人惊豔的是 Laughlin 利用数学形式的类比,将利用此波函数计算的密度转换成另外一个古典的电浆(one-component plasma )问题,间接说明这个波函数描述的流体具有均匀的密度,还能藉此论证分数量子霍尔效应中的準粒子(quasi-particle)带有分数电荷,比如说 \(\frac{1}{3}\) 或 \(\frac{1}{5}\) 的电子电量。

这些工作带给了 Laughlin 1998 年的诺贝尔奖,但还不是完整的故事,譬如他无法解释 \(\frac{2}{5}\)、\(\frac{3}{7}\) 这些分数,也留给了其他高手大鸣大放的空间。

连结:【物理世界】量子霍尔效应(三):複合费米子


参考资料:

注解:

[1] 实验上当然不可能刚刚好「住满」,这也就是我强调我没有解释所有物理的原因之一。

[2] 原则上兰道阶指的是能量上的量子化,一般而言能量的量子化跟波函数、也就是电子的空间分布没有绝对关係,但刚好在这个兰道问题里,整个材料在物理空间中被区分成很多个小房间,每个房间都有两个号码,一个是楼层数(兰道阶数),一个是房号(动量或角动量量子数)。

[3] 事实上我们解析原子也是这样开始的,所以高中化学才会有一堆能量上的修正跟例外。

[4] 白话一点就是猜答案,这在物理上并不是太少见的技巧,而且通常是高手才猜得到好的答案。

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